Phân tích ảnh hưởng của thông số gối cao su lên ứng xử động cầu cong đứng chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ThS. Phạm Đình Trung Trường Đại học Quang Trung PGS. TS. Hoàng Phương Hoa ThS. Nguyễn Hoàng Vĩnh Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng Người phản biện: TS. Trần Đình Quảng                     TS. Nguyễn Lan

Tóm tắt: Mục đích của bài báo là phân tích ảnh hưởng của các thông số gối cao su trong kết cấu cầu dầm cong đứng chịu tác động của tải trọng di động. Mô hình tải trọng di động được mô tả bằng hệ hai khối lượng đặc trưng cho phần thân và bánh xe, kết cấu cầu vòm được rời rạc dựa trên nền tảng của lý thuyết phần tử hữu hạn. Phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu chịu phương tiện di động được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động và giải bằng phương pháp tích phân số Newmark theo từng bước thời gian. Ảnh hưởng của các thông số gối cao su, độ cong của dầm cầu và các thông số đặc trưng của các phương tiện di động cũng được khảo sát một cách chi tiết và kết quả cho thấy các thông số có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng động lực học của cầu vòm. Đồng thời, kết quả phân tích cũng cho thấy vấn đề đang quan tâm của bài báo là thật sự có ý nghĩa và hữu ích trong việc thực hành tính toán ứng xử trong bài toán tương tác của mô hình cầu - phương tiện di động.

Từ khóa: Gối cao su, phân tích động lực học của cầu vòm, phương tiện di động, tương tác cầu - phương tiện.

Abstract: The purpose of this paper analyze the influence of rubber restraint  parameters in curved bridge subjected to a moving vehicle. The model of moving vehicle is described by two masses characteristic for body and wheel, the curved bridge structure is disjointed based on the finite element theory. The equation of motion of the system is derived based on dynamic balance principle and solved by Newmark method in the time domain. The influence of rubber restraint parameters, the curvature of the curved bridge and moving vehicle parameters are also investigated detail and the results showed that the above parameters have a significant influence on dynamic response of curved bridge. At the same time, the analysis result also shows that the paper is truly meaningful and useful in the practice of calculating behavior of interactive problem of Bridge-Vehicle.

Keywords: Rubber restraint, dynamic analysis of curved bridge, moving vehicle, interaction of bridge - vehicle.

1. Đặt vấn đề

Một trong những giải pháp nhằm hạn chế ảnh hưởng do tác dụng của tải trọng động trong các dạng kết cấu cầu dầm là dùng hệ thống các gối đàn hồi liên kết giữa dầm cầu và mố, trụ cầu. Gối cao su là dạng gối đàn hồi mà được sử dụng khá rộng rãi hiện nay, với ưu điểm là dễ chế tạo, có đặc đặc tính cơ lý rõ ràng và đặc biệt là dễ bảo trì và sửa chữa (Hình 1.1).

Chính vì các ưu điểm trên, mô hình gối cao su đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học và cũng đã có khá nhiều các nghiên cứu về ứng xử của gối cao su trong các bài toán phân tích đáp ứng động lực học của các dạng kết cấu cầu dầm trong thời gian qua, đồng thời mô hình gối cao su hiện cũng đang được ứng dụng trong hầu hết các cây cầu nhịp nhỏ và vừa ở Việt Nam và trên thế giới. Bên cạnh đó, việc nghiên cứu, phân tích ứng xử của kết cấu cầu dầm tương tác với phương tiện di động cũng đã có khá nhiều các nghiên cứu [1-9], do đó, đây là vấn đề thật sự thu hút được khá nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu cả trong và ngoài nước.

Để tiếp nối sự quan tâm đến ứng xử của mô hình gối cao su trong bài toán phân tích đáp ứng động lực học trong các mô hình bài toán tương tác cầu - phương tiện di động, bài báo tập trung phân tích ảnh hưởng của các thông số gối cũng như các thông số đặc trưng của mô hình kết cấu cầu dầm cong đứng và đặc trưng của các phương tiện di động lên đáp ứng động lực học của dầm cầu một cách chi tiết hơn.

2. Cơ sở lý thuyết

2.1. Mô hình kết cấu

Xét mô hình cầu dầm dạng vòm (dầm bê tông cốt thép dự ứng lực) tựa trên các gối cao su chịu tác động của mô hình phương tiện di động với vận tốc hằng số, thể hiện trên Hình 2.1.

 

Mô hình gối cao su được đặc trưng bởi thông số độ cứng đàn hồi trượt k_s và thông số độ cứng đàn hồi chịu nén k_w, đặc trưng cho đặc tính cơ lý của gối cao su. Đồng thời, mô hình kết cấu dầm cầu có bán kính cong đứng R  nhằm đảm bảo yếu tố độ cong thoải của dầm cầu sát với thực tế cấu tạo hình học của dầm, khi đó nhịp L_c của cầu được thể hiện như sau:

 

   (1)

Trong đó: R - Bán kính cong và f là góc chắn cung của dầm cầu (Hình 2.1).

2.2. Ma trận phần tử dầm

Mô hình kết cấu cầu dầm được rời rạc thành n phần tử, mỗi phần tử có hai nút ij, mỗi nút có ba bậc tự do gồm có hai chuyển vị thẳng và một chuyển vị góc xoay [10], thể hiện trên Hình 2.3.

Hình 2.3: Mô hình rời rạc kết cấu cầu vòm

 

Với giả thiết rằng: Số phần tử chia là đủ để xem các phần tử dầm cầu có chiều dài l là phần tử thanh thẳng trong hệ trục tọa độ tổng thể, thể hiện trên Hình 2.4.

Hình 2.4: Mô hình phần tử cầu vòm

 

Dựa trên quan hệ hình học, chiều dài mỗi phần tử dầm cầu l được xác định như sau:

 (2)

 

Trong đó: f’=f/n  - Góc chắn cung của phần tử dầm cầu được xác định dựa trên số chia phần tử dầm và góc nghiêng α giữa trục phần tử thứ i với trục X của hệ trục tọa độ tổng thể, biểu diễn bởi công thức:

 

   (3)

 

Dựa trên lý thuyết phần tử hữu hạn của phần tử dầm Euler - Bernoulli, các ma trận độ cứng [K_b’]_e và ma trận khối lượng [M_b’]_e của phần tử dầm cầu trong hệ trục tọa độ tổng thể được xác định và thể hiện như sau:

 

  (4)

Trong đó: [K]_e và [M]_e - Lần lượt là các ma trận phần tử dầm cầu trong hệ trục tọa độ địa phương, xác định theo các công thức:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Trong đó: α - Góc nghiêng giữa trục của phần tử dầm cầu với trục X của hệ trục tọa độ tổng thể.

Đồng thời, dưới tác dụng của phương tiện di động, các gối cao su phát sinh phản lực đàn hồi tác dụng ngược lên kết cầu dầm cầu trong hệ trục tọa độ tổng thể, khi này độ cứng tổng thể do ảnh hưởng của thông số gối cũng được xác định như sau:

 

 

Do đó, ma trận độ cứng tổng thể trong từng phần tử sẽ do ảnh hưởng đồng thời độ cứng của phần tử dầm cầu và độ cứng do ảnh hưởng của gối cao su, xác định bởi:

 

       (9)

Trong đó: [K_g’]_e=[K_g’]_{(chỉ số bậc tự do của phần tử i)} - Ma trận độ cứng phần tử thứ i do ảnh hưởng của gối cao su tương ứng với chỉ số bậc tự do của phần tử đang xét.

2.3. Mô hình phương tiện di động

Mô hình phương tiện di động được mô tả như hệ hai bậc tự do gồm có hai khối lượng nối với nhau bằng lò xo đàn hồi tuyến tính k_vvà cản nhớt c_v, tương ứng với mô hình nhíp xe. Khối lượng phần dưới là m_w và khối lượng phần trên là M_v, tương ứng với khối lượng của bánh xe và thân xe, lần lượt có chuyển vị đứng là z_v và z_w [11], thể hiện trên Hình 1.1. Phương trình chuyển động của khối lượng vật thể trong trường hợp bỏ qua ảnh hưởng của lực hướng tâm và lực Coriolis được biểu diễn như sau:

 

 

 

 

Trong đó: f_c - Lực tương tác và g là gia tốc trọng trường.

Giải thiết rằng toàn bộ các thông số của vật thể là xác định tại thời điểm t  và độ lớn của bước thời gian Dt là đủ bé. Phương trình vi phân chuyển động của khối lượng M_v tại thời điểm t+Dt được viết lại như sau:

 

 

 

 

Dựa trên lý thuyết của phương pháp Newmark với hệ số b=0,25 và g=0,5, chuyển vị z_v tại thời điểm t+Dt được xác định bởi [10]:

 

 

 

 

 

 

 

và các hệ số b_i được xác định như sau:

 

 (15)

 

 

 

Thế phương trình (14) vào phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m_w trong phương trình (10), lực tương tác f_c tại thời điểm t+Dt được xác định:

 

 

 

 

 

 

 

Trường hợp giả thiết rằng không có hiện tương mất tương tác giữa phương tiện di động và bề mặt kết cấu dầm, khi này các giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc đứng của khối lượng m_w chính là giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc đứng của kết cấu dầm tương ứng với vị trí của phương tiện di động, được xác định thông qua ma trận hàm dạng và véc tơ chuyển vị nút phần tử như sau:

 

   (19)

Trong đó: [N_w] - Giá trị của ma trận hàm dạng chuyển vị của phần tử dầm chịu uốn tương ứng với vị trí của phương tiện di động, được trình bày khá nhiều trong các tài liệu về phương pháp phần tử hữu hạn [10].

2.4. Phương trình chuyển động

Dựa trên nguyên lý cân bằng động, phương trình vi phân dao động không cản của phần tử dầm cầu tại thời điểm t+Dt được biểu diễn bởi phương trình:

 

 

Dùng kỹ thuật kết nối các chỉ số bậc tự do tương ứng của các ma trận và vectơ tải của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể trong từng bước thời gian, phương trình chuyển động tổng quát của hệ kết cấu được biểu diễn như sau:

 

 

Trong đó: [M’], [K’] và {F’} - Lần lượt là ma trận khối lượng, độ cứng, và véc tơ tải tổng thể của cả hệ trong từng bước thời gian.

Phương trình chuyển động sau khi thiết lập được giải bằng phương pháp tích phân số Newmark [12] trên toàn miền thời gian dựa trên chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB.

2. Kết quả khảo sát số

2.1. Kiểm chứng chương trình tính

Mục đích của phần này là kiểm tra sự phù hợp của chương trình máy tính đã viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB, các kết quả số được so sánh với các kết quả của phần mềm SAP2000 và các kết quả khác được trích dẫn trong các tài liệu tham khảo.

Trong ví dụ kiểm chứng đầu tiên, bài báo khảo sát tần số riêng không thứ nguyên và chuyển vị tĩnh của cầu vòm hai đầu gối cố định, với lưới chia 40 phần tử và các thông số đặc trưng như sau: b=0,4m, h=0,4m, E=2,4x10⁹ N/m², r=2.500 kg/m³ và f=90⁰, R=10m và P₀=1.000N, thể hiện trên Hình 2.1.

 

Kết quả chuyển vị đứng của cầu vòm được xem xét và so sánh với kết quả phân tích bằng phần mềm SAP2000, được thể hiện trên Hình 2.2.

Hình 2.2: Chuyển vị đứng trong mô hình cầu

 

Trong phần kiểm chứng tiếp theo, bài báo khảo sát ứng xử động của kết cấu cầu dầm dạng phẳng chịu phương tiện di động, kết quả chuyển vị động của điểm giữa dầm và của khối lượng phương tiện được xem xét và so sánh với kết quả của Neves [13], thể hiện trên Hình 2.3.

a) - Chuyển vị động giữa dầm; b) - Chuyển vị động của khối lượng phưong tiện Hình 2.3: Đáp ứng động của cầu

 

Từ các kết quả khảo sát số kiểm chứng trên cho thấy kết quả trong bài báo là tương đối có độ chính xác so với các kết quả của các tác giả được nêu trong tài liệu trích dẫn. Từ đó chương trình đã xây dựng trên máy tính bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB có độ tin cậy nhất định và làm cơ sở để tiếp tục phân tích ảnh hưởng của các thông số lên ứng xử động của dầm.

2.2. Kết quả khảo sát số

Trong phần khảo sát kết quả số, bài báo khảo sát mô hình cầu dầm với lưới chia 100 phần tử và có các thông số đặc trưng như sau [13]: L=25m, E=2,87x10⁹ N/m², I=2,9 m⁴, rA=2.303 kg/m và f=90⁰; chịu mô hình tải trọng di động có thông số đặc trưng M_v=5.750 kg, k_v=1.595x10³ N/m (c_v=0, m_w=0). Các thông số gối cao su được xác định từ thực nghiệm k_w=1716,8x10⁴ N/m và k_s=81,34x10⁴ N/m.

Trong phần khảo sát số đầu tiên, bài báo khảo sát ảnh hưởng của các thông số độ cứng gối lên đáp ứng động lực học của cầu vòm và một thông k đặc trưng cho tỷ lệ thay đổi độ cứng của gối cầu được sử dụng. Ảnh hưởng của thông số độ cứng k_w và k_s lên chuyển vị động theo thời gian của điểm giữa cầu vòm ứng với các giá trị vận tốc khác nhau của phương tiện di động lần lượt được xem xét và thể hiện trên Hình 2.4 và 2.5.

Từ kết quả thể hiện trên Hình 2.4 cho thấy thông số độ cứng chịu nén của gối cao su k_w thì ảnh hưởng đến chuyển vị động trong cầu vòm là thật sự không đáng kể, nhưng thông số độ bền trượt của gối cao su k_s là có ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị động trong cầu vòm, với sự gia tăng giá trị k_s thì đồng nghĩa với việc làm gia tăng độ cứng trượt của gối và làm giảm đáng kể chuyển vị động trong cầu vòm. Từ đó cho thấy, các thông số độ cứng gối là có ảnh hưởng đến ứng xử động lực học của kết cấu dầm cầu và khá phù hợp với bản chất mô hình vật lý của kết cấu dạng vòm trên các gối tựa đàn hồi khi chịu tải trọng.

Hình 2.4: Ảnh hưởng của thông số kw lên chuyển vị đứng của điểm giữa dầm: (a) V=10m/s, (b) 25m/s, (c) 50m/s

 

Trong phần khảo sát số tiếp theo, bài báo khảo sát ảnh hưởng của thông số đặc trưng hình học của cầu dầm lên đáp ứng động lực học của hệ, kết quả chuyển vị động của điểm giữa dầm và gối cao su được xem xét và lần lượt thể hiện trên Hình 2.6 và 2.7. Từ kết quả khảo sát cho thấy thông số đặc trưng hình học của dầm cầu bê tông cốt thép dự ứng lực có ảnh hưởng đến ứng xử động lực học của hệ, đặc biệt là ảnh hưởng rõ rệt đến chuyển vị trượt của gối cao su, khi độ cong của vòm càng lớn đồng nghĩa với sự gia tăng giá trị của góc chắn cung f thì lực truợt chân vòm càng lớn, do đó làm gia tăng chuyển vị trượt của của gối cao su.

Hình 2.5: Ảnh hưởng của thông số ks lên chuyển vị đứng của điểm giữa dầm: (a) V=15m/s, (b) 25m/s, (c) 50m/s

 

Hình 2.6: Ảnh hưởng của thông số f lên chuyển vị đứng của điểm giữa dầm: (a) V=10m/s, (b) 25m/s, (c) 50m/s

 

Hình 2.7: Ảnh hưởng của thông số f lên chuyển vị ngang của gối cao su bên trái: (a) V=10m/s, (b) 25m/s, (c) 50m/s

 

Cuối cùng, bài báo khảo sát ảnh hưởng của thông số độ cứng gối lên tỷ số động DMF của chuyển vị, được định nghĩa là tỷ số giữa chuyển vị động lớn nhất với chuyển vị tĩnh lớn nhất trong cầu. Kết quả tỷ số động DMF ứng với các giá trị của vận tốc chuyển động của phương tiện di động được xem xét và thể hiện trên Hình 2.8 và 2.9.

Hình 2.8: Ảnh hưởng của thông số kw lên tỷ số động của chuyển vị trong cầu

 

Hình 2.9: Ảnh hưởng của thông số ks lên tỷ số động của chuyển vị trong cầu

 

Từ kết quả khảo sát thể hiện trên Hình 2.8 và 2.9 cho thấy, thông sô độ cứng của gối là có ảnh hưởng đáng kể đến tỷ số động của cầu, đặc biệt là thông số độ bền trượt k_s là có ảnh hưởng rõ rệt, ứng với sự gia tăng của thông số độ bền trượt của gối thì đồng nghĩa với việc làm giảm chuyển vị động dầm cầu, vì khi này sự gia tăng độ cứng trượt của gối thì cũng đồng nghĩa với việc làm tăng độ cứng của gối đỡ và từ đó là giảm lực trượt ngang trong kết cấu dầm cầu.

3. Kết luận

Bài báo đã trình bày tiến trình phần tử hữu hạn để phân tích đáp ứng động lực học của mô hình kết cấu nhịp cầu cong đứng tựa trên gối cao su chịu tải trọng di động. Ảnh hưởng của các thông số đặc trưng của gối cao su được mô tả một cách chi tiết và hệ phương trình vi phân chuyển động của cả hệ kết cấu được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động trong từng bước thời gian. Kết quả khảo sát số cho thấy các đặc trưng của thông số độ cứng gối cao su có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động lực học của hệ kết cấu cầu, đồng thời bài báo cũng có thể được xem là có ý nghĩa thực tiễn trong việc thực hành, tính toán ứng xử của các dạng kết cấu cầu dầm bê tông cốt thép dự ứng lực chịu tác dụng của tải trọng di động.

Tài liệu tham khảo

[1]. Yang, Y.B., Yau, J.D., Wu, S.U. (2004), Vehicle - Bridge Interaction Dynamics, World Scientific Publishing.

[2]. Esmailzadeh,  E., Jalili, N. (2003),  Vehicle- passenger-structure interaction of uniform bridges traversed by moving vehicles, Journal of Sound and Vibration 260(4): 611-635.

[3]. Wang, R.-T., Sang, Y.-L. (1999), Out-of-plane vibration of multi-span curved beam due to moving loads, Structural Engineering and Mechanics 7 (4): 361-375.

[4]. Huang, C.S., Tseng, Y.P., Hung, C.L. (2001), An accurate solution for the responses of circular curved beams subjected to a moving load, International Journal for Numerical Methods in Engineering 48(12): 1723-1740.

[5]. Reis, M., Pala, Y. (2009), Dynamic Response of a Slightly Curved Bridges Under Moving Mass Loads, The Baltic Journal of Road and Bridge Engineering, 4(3): 143-148.

[6]. Eisenberger, M. and Efraim, E. (2001), In-plane vibrations of shear deformable curved beams, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 52: 1221-1234.

[7].  Yang,  F.,  Sedaghati,  R.  and  Esmailzadeh,  E. (2008), Free in-plane vibration of general curved beams using finite element method, Journal of Sound and Vibration 318: 850-867.

[8]. Javid,  F. (2011), Vibration  Suppression  of Straight and Curved Beams Traversed by Moving Loads, M.Sc Dissertation, University of Ontario Institute of Technology.

[9]. Javid F., Esmailzadeh E. and Younesian D. (2011), An Investigation Into the Vehicle-Curved Bridge Dynamic Interaction,  International Journal of Automotive Engineering, (1) 3.

[10]. Klaus-Jurgen Bathe (1992), Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632.

[11]. Mohebpour S. R., Malekzadeh P., Ahmadzadeh AA. (2011), Dynamic analysis of laminated composite plates subjected to a moving oscillator by FEM, Composite Structures 93, 1574-1583.

[12]. Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Trọng Phước (2010), Các phương pháp số trong động lực học kết cấu, NXB. Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

[13]. Neves G. M., Azevedo A. F. M., Calçada R. (2012), A direct method for analyzing the vertical vehicle-structure interaction, Engineering Structures 34:414-420.